Question

19．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{a}$．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式g（x）＞0；
（3）若g（$\frac{t-1}{{t}^{2}}$）≥0在t∈（1，+∞）时恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据关于原点对称的性质，设出点的坐标，求出g（x）的表达式即可；
（2）通过讨论a的范围，解不等式即可；
（3）通过讨论a的范围，问题分离出a，问题转化为函数恒成立问题，通过讨论函数的单调性，从而求出结果．

解答 解：（1）设M（x，y）是函数y=g（x）图象上任意一点，则M（x，y）关于原点的对称点为N（-x，-y）．
则由N在函数f（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{a}$的图象上，可得-y=-$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{a}$，∴y=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{a}$，
即g（x）的解析式为：g（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{a}$；
（2）由g（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{a}$＞0，得：$\frac{2}{x}$＞$\frac{1}{a}$，
①a＞0时，x＞0时，不等式两边都乘以ax得：0＜x＜2a，
x＜0时，不等式两边都乘以ax得：x＞2a＞0，矛盾，
②a＜0时，x＞0时，不等式两边都乘以ax得：2a＜x＜0，
x＜0时，不等式两边都乘以ax得：x＜2a；
（3）g（$\frac{t-1}{{t}^{2}}$）=$\frac{{2t}^{2}}{t-1}$-$\frac{1}{a}$≥0在t∈（1，+∞）时恒成立，
①a＞0时，问题转化为a≥${（\frac{t-1}{{2t}^{2}}）}_{max}$在t∈（1，+∞）时恒成立，
设h（t）=$\frac{t-1}{{2t}^{2}}$，h′（t）=$\frac{-2t（t-2）}{{4t}^{4}}$，
令h′（x）＞0，解得：1＜t＜2，令h′（x）＜0，解得：t＞2，
∴函数h（t）在（1，2）递增，在（2，+∞）递减，
∴h（t）_最大值=h（t）_极大值=h（2）=$\frac{1}{8}$，
∴a≥$\frac{1}{8}$；
②a＜0时，由①得：a≤h（t）_最小值即可，
而h（1）=0，t→+∞时，h（t）→0，
∴0＜h（t）≤$\frac{1}{8}$，
∴a＜0，
综上：a≥$\frac{1}{8}$或a＜0．

点评 本题考查了关于原点对称的性质，考查了函数恒成立问题，函数的单调性和最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．