Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（sin2x，-cos2x），$\overrightarrow{c}$=（0，1），x∈（0，π）．
（1）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是否共线，并说明理由；
（2）求|$\overrightarrow{b}$|-（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）假设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，利用向量共线的坐标运算可得cosx=0，x∈（0，π），解得x即可判断出．
（2）|$\overrightarrow{b}$|-（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=-$2（sinx+\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{17}{8}$，由x∈（0，π），可得sinx∈（0，1]，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）假设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，则sinxsin2x=-cosxcos2x，化为cosx=0，x∈（0，π），解得x=$\frac{π}{2}$．∴x=$\frac{π}{2}$时，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线．
（2）|$\overrightarrow{b}$|-（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=1-（sinx-cos2x）=1-2sin²x-sinx+1=-$2（sinx+\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{17}{8}$，
∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，
∴当x=$\frac{π}{2}$时，sinx=1，此时|$\overrightarrow{b}$|-（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$取得最小值-1．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量共线定理、二次函数的单调性、三角函数的值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．