设函数y=f(x)的定义域为D.如果存在非零常数T.对于任意x∈D.都有f.则称函数y=f(x)是“似周期函数 .非零常数T为函数y=f(x)的“似周期．现有下面四个关于“似周期函数的命题:①如果“似周期函数 y=f(x)的“似周期为-1.那么它是周期函数,②对于“似周期为T的函数y=f＞0.则f＞0,③函数f(x)=x是“似周期函数 ,④� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为-1，那么它是周期函数；
②对于“似周期”为T的函数y=f（x），若f（T）＞0，则f（2015T）＞0；
③函数f（x）=x是“似周期函数”；
④函数飞（x）=2^-x是“似周期函数”；
⑤如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ（其中，k是某个整数）”．
其中是真命题的序号是①②④⑤（写出所有满足条件的命题序号）

分析根据似周期函数的定义，分别进行判断即可．

解答解：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为-1，
则f（x-1）=-f（x），即f（x-1）=-f（x）=-（-f（x+1））=f（x+1）；
故它是周期为2的周期函数；故①正确，；
②对于“似周期”为T的函数y=f（x），若f（T）＞0，则f（2015T）=T²⁰¹⁴′f（T）＞0；故②正确，
③若函数f（x）=x是“似周期函数”，
则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），
即x+T=Tx；故（1-T）x+T=0恒成立；
故不存在T．故假设不成立，故③错误；
④若函数f（x）=2^-x是“似周期函数”，
则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），
即2^-x-T=T•2^-x，
即（T-2^-T）•2^-x=0；
而令y=x-2^-x，作图象如下，

故存在T＞0，使T-2^-T=0；故④正确；
⑤若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，
则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），
即cos（ωx+ωT）=Tcosωx；
故T=1或T=-1；
故“ω=kπ，k∈Z”．故⑤正确；
故答案为：①②④⑤．