Question

20．若函数f（x）=2cos²x-2acosx+a²-2a-1（0$≤x≤\frac{π}{2}$）的最小值为-2，求实数a的值并求此时f（x）的最大值．

Answer 1

分析 化简可得f（x）=2（cosx-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1，结合0≤cosx≤1分类讨论由二次函数区间的最值可得．

解答 解：化简可得f（x）=2cos²x-2acosx+a²-2a-1
=2（cosx-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1
∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，∴0≤cosx≤1，
当$\frac{a}{2}$＜0即a＜0时，函数f（x）在cosx∈[0，1]单调递增，
当cosx=0时函数f（x）取最小值a²-2a-1=2，解得a=-1，或a=3（舍去），
此时f（x）=2（cosx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，当cosx=1时，函数取最大值6；
当0≤$\frac{a}{2}$≤1即0≤a≤2时，函数f（x）在cosx∈[0，$\frac{a}{2}$]单调递减，
在cosx∈[$\frac{a}{2}$，1]单调递增，当cosx=$\frac{a}{2}$时函数f（x）取最小值$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1=2，
解得a=2±$\sqrt{10}$（舍去），不合题意；
当$\frac{a}{2}$＞1即a＞2时，函数f（x）在cosx∈[0，1]单调递减，
当cosx=1时函数f（x）取最小值a²-4a+1=2，解得a=2+$\sqrt{2}$，或a=2-$\sqrt{2}$（舍去），
此时当cosx=0时，函数取最大值2$\sqrt{2}$+1
综上可得当a=-1时，函数取最大值6，当a=2+$\sqrt{2}$时，函数取最大值2$\sqrt{2}$+1

点评 本题考查三角函数的最值，涉及二次函数区间的最值和分类讨论的思想，属中档题．