Question

16．函数f（x）是奇函数，且在区间[-1，1]上单调递增，f（-1）=-1．
（1）试求f（x）在区间[-1，1]上的最大值；
（2）若f（x）≤2at+4对所有的x∈[-1，1]及a∈[-1，1]都成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（-1）=-1得f（1）=1，函数f（x）是奇函数，且在区间[-1，1]上单调递增，可得f（x）在区间[-1，1]上的最大值；
（2）f（x）≤2at+4对所有的x∈[-1，1]都成立，只需要比较f（x）的最大值与2at+41即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）是奇函数，且在区间[-1，1]上单调递增，f（-1）=-1．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（1）=-f（-1）=1；
（2）f（x）的最大值是1，
∴1≤2at+4?2at+3≥0，
设g（a）=2at+3（-1≤a≤1），
欲使2at+3≥0恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}{-2t+3≥0}\\{2t+3≥0}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{3}{2}$≤t≤$\frac{3}{2}$．

点评 本题把函数的奇偶性，单调性与最值放在一起综合考查，是导函数方面的好题．