Question

1．若函数f（x）和g（x）都是奇函数，且F（x）=af（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上有最大值8，求F（x）在（-∞，0）上的最小值．

Answer 1

分析 利用f（x）、g（x）的奇偶性可判断F（x）-2的奇偶性，由F（x）在（0，+∞）上的最大值可得F（x）-2的最大值，由其奇偶性可得F（x）-2在对称区间（-∞，0）上的最值情况，从而可得F（x）的最值情况．

解答 解：由F（x）=af（x）+bg（x）+2，得F（x）-2=af（x）+bg（x），
∵f（x）和g（x）都是奇函数，
∴F（-x）-2=af（-x）+bg（-x）=-af（x）-bg（x）=-[af（x）+bg（x）]=-[F（x）-2]，
∴F（x）-2是奇函数，
∵F（x）在（0，+∞）上有最大值8，即F（x）≤8，
∴F（x）-2≤6，
当x∈（-∞，0）时，-x∈（0，+∞），
则F（-x）-2≤6，即-[F（x）-2]≤6，
∴F（x）-2≥-6，即F（x）≥-4，
∴x∈（-∞，0）时，F（x）有最小值-4．

点评 本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的最值求解，属基础题．