题目内容

14.设函数f(x)=3sin(-ωx+φ),(ω>0,0<φ<π),其最小正周期为π,y=f(x)的图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{6}$.
(1)求ω与φ的值;
(2)求函数y=f(x)的单调区间;
(3)求使f(x)≤$\frac{3}{2}$成立的x的取值集合.

分析 (1)由题意根据函数的周期性求得ω,再根据图象的对称性求得φ 值,可得函数的解析式.
(2)由条件利用正弦函数的单调性求得函数y=f(x)的单调区间.
(3)由f(x)≤$\frac{3}{2}$,求得sin(2x-$\frac{5π}{6}$)≥-$\frac{1}{2}$,令2kπ-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$,k∈z,由此求得x的范围.

解答 解:(1)∵函数f(x)=3sin(-ωx+φ)=-3sin(ωx-φ)的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π,∴ω=2.
∵y=f(x)的图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{6}$,∴2×$\frac{π}{6}$-φ=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈z,即 φ=-kπ-$\frac{π}{6}$,
再结合0<φ<π,可得φ=$\frac{5π}{6}$.
(2)由以上可得f(x)=-3sin(2x-$\frac{5π}{6}$),令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈z,
求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$,故函数的增区间为[kπ+$\frac{π}{6}$,kπ+$\frac{2π}{3}$],k∈z.
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈z,
求得kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{6}$,故函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$,kπ+$\frac{7π}{6}$],k∈z.
(3)由f(x)=-3sin(2x-$\frac{5π}{6}$)≤$\frac{3}{2}$,求得sin(2x-$\frac{5π}{6}$)≥-$\frac{1}{2}$,令2kπ-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$,k∈z,
求得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+π,∴f(x)≤$\frac{3}{2}$成立的x的集合为{x|kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+π,k∈z}.

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域,以及它的图象的对称性,属于中档题.

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