题目内容

2013年4月20日8点02分四川省雅安市芦山县（北纬30.3度，东经103.0度）
发生7.0级地震，此次地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治．医疗队首先到达O点，设有四个乡镇，分别位于一个矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D，为了救灾及灾后实际重建需要．需要修建三条小路OE、EF和OF，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，AB=50千米，BC=25
3
千米且∠EOF=90°，如图所示．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每千米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．
（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=
25
cosα

在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=
25
sinα
．
又∠EOF=90°，
∴EF=
OE2+OF2
=
25
cosαsinα
，
∴l=OE+OF+EF=
25
cosα
+
25
sinα
+
25
cosαsinα
=
25(sinα+cosα+1)
cosαsinα
．
当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=
π
6
；
当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=
π
3
．
故此函数的定义域为[
π
6
，
π
3
]．
（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．
由（1）得，l=
25(sinα+cosα+1)
cosαsinα
，α∈[
π
6
，
π
3
]．
设sinα+cosα=t，则sinαcosα=
t2-1
2
，
∴l=
25(t+1)
t2-1
2
=
50
t-1

由t=sinα+cosα=
2
sin（α+
π
4
），
又
5π
12
≤α+
π
4
≤
7π
12
，得
3
+1
2
≤t≤
2
，
∴
2
+1≤
1
t-1
≤
3
+1，
∴α=
π
4
，即BE=25时，lmin=50（
2
+1），
∴当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为20000（
2
+1）元．
练习册系列答案
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A．B．
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A．(0,2)B．(2,3)C．(e,4)D．(3, 8)
计算     ．

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