题目内容
已知函数,且.
(1)判断的奇偶性并说明理由;
(2)判断在区间上的单调性,并证明你的结论;
(3)若在区间上,不等式恒成立,试确定实数的取值范围.
(1)函数在上为奇函数;(2)函数在上是增函数(3)实数的取值范围是
解析试题分析:(1)由条件可求得函数解析式中的值,从而求出函数的解析式,求出函数的定义域并判断其是否关于原点对称(这一步很容易被忽略),再通过计算,与进行比较解析式之间的正负,从而判断的奇偶性;(2)由(1)可知函数的解析式,根据函数单调性的定义法进行判断求解,(常用的定义法步骤:取值;作差;整理;判断;结论);(3)由(1)可将函数解析式代入不等式可得,经未知数与待定数分离得,在区间上求出的最小值,从而确定实数的取值范围.
试题解析:(1)由得:
∴,其定义域为关于原点对称
又
∴函数在上为奇函数。 4分
(2)函数在上是增函数,证明如下:
任取,且,则,
那么
即 ∴函数在上是增函数。 8分
(3)由,得
,在区间上,的最小值是,,得,
所以实数的取值范围是. 14分
考点:1.函数的概念、奇偶性、单调性、最值;2.不等式.
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