Question

【题目】设集合，其中.

（1）写出集合中的所有元素；

（2）设，证明“”的充要条件是“”

（3）设集合，设，使得，且，试判断“”是“”的什么条件并说明理由.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）证明见解析；（3）充要条件.

【解析】

（1） 根据题意，直接列出即可

（2） 利用的和的符号和最高次的相同，利用排除法可以证明。

（3） 利用（2）的结论完成（3）即可。

（1）中的元素有，，，。

（2）充分性：当时，显然

成立。

必要性：

若=1，则

若=，则

若的值有个1，和个。不妨设2的次数最高次为次，其系数为1，则

，说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理，只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系数只能是0，就是说，即

综上“”的充要条件是“”

（3）

等价于

等价于

由（2）得“=”的充要条件是“”

即“=”是“” 的充要条件