Question

【题目】已知函数.

（1）若对恒成立，求的取值范围；

（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）第（1）问，方法一，构造函数，再分析f(x)的最大值和零的关系得到a的取值范围.方法二，分离参数得到恒成立，即a大于F(x)的最大值. (2)第（2）问，先要把证明的不等式转化，再由第（1）问，恒成立，得到恒成立，把数列的通项放缩，对数列求和，再化简证明不等式.

试题解析：

（1）法一：记，

则，，

①当时，

∵，∴，∴在上单减，

又，∴，即在上单减，

此时，，即,所以a≥1.

②当时，

考虑时，，∴在上单增，

又，∴，即在上单増，,不满足题意.

综上所述，.

法二：当时，等价于，

，记，则，

∴在上单减，∴，

∴，即在上单减，，故.

（2）由（1）知：取，当时，恒成立，

即恒成立，即恒成立，

即对于恒成立，

由此，，，

于是

，

故.