Question

1．已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁，S₃，S₄成等差数列，则数列{a_n}的公比为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}的公比为q，由于S₁，S₃，S₄成等差数列，可得2S₃=S₁+S₄，q=1不成立，可得$2\frac{{a}_{1}（{q}^{3}-1）}{q-1}$=a₁+$\frac{{a}_{1}（{q}^{4}-1）}{q-1}$，化简解出即可．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q，
∵S₁，S₃，S₄成等差数列，
∴2S₃=S₁+S₄，
q=1不成立，
∴$2\frac{{a}_{1}（{q}^{3}-1）}{q-1}$=a₁+$\frac{{a}_{1}（{q}^{4}-1）}{q-1}$，
化为q³-2q²+1=0，
（q-1）（q²-q-1）=0，q≠1，q＞0，
解得q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．