Question

【题目】正三棱柱的底边长为2， 分别为的中点.

（1）已知为线段上的点，且，求证： 面；

（2）若二面角的余弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（I）取B1A1中点为N，连结BN，推导出BN∥A1F，从而EM∥BN，进而EM∥A1F，由此能证明EM∥面A1FC．
（II）以F为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA1=a，利用向量法能求出结果．

试题解析：

证明：(1)取中点为N,连结BN

则BN∥F,又=4M，

则EM∥BN,所以EM∥F，

因为EM面FC, F面FC，

故EM∥面FC.

(2)如图,以F为坐标原点建立空间直角坐标系,设A=a.

则F(0,0,0), (1,0,a),E(1,0,a2),C(0, ,0)，

(1, ,), (0, ,0), (2,0, ), (1, ,a)，

设平面CF法向量为，

设平面EF法向量为

则,取z=1,得=(a,0,1)，

,取x=1,得=(a, a,4)；

设二面角ECF的平面角为θ，

∵二面角ECF所成角的余弦值为，

所以

解得

所以.