Question

【题目】如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣B为45°，AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取PC中点M，连接ME、MF．

∵

∴AE∥FM，且AE=FM，

即四边形AFME是平行四边形，

∴AF∥EM，∵AF平在PCE，

∴AF∥平面PCE．

（Ⅱ）∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，

根据三垂线定理知，CD⊥PD，

∴∠PDA是二面角，

P﹣CD﹣B的平面角，则∠PDA=45°

于是，△PAD是等腰直角三角形，

∴AF⊥PD，又AF⊥CD，

∴AF⊥面PCD．而EM∥AF，

∴EM⊥面PCD．又EM平面PEC，

∴面PEC⊥面PCD．

在面PCD内过F作FH⊥PC于H，

则FH为点F到平面PCE的距离．

由已知，PD=2 ，PF= ．

∵△PFH∽△PCD，

∴

【解析】（Ⅰ）取PC中点M，连接ME、MF．由 ，知AE∥FM，且AE=FM，由此能证明四边形AFME是平行四边形，从而得到AF∥平面PCE．（Ⅱ）由PA⊥平面AC，CD⊥AD，根据三垂线定理知，CD⊥PD，故∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，所以△PAD是等腰直角三角形，由AF⊥PD，AF⊥CD，得到面PEC⊥面PCD，由此入手能够求出点F到平面PCE的距离．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)．