题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1= 
，Sn=n2an﹣n（n﹣1），n=1，2，…
（1）证明：数列{ 
Sn}是等差数列，并求Sn；
（2）设bn= 
，求证：b1+b2+…+bn＜ 
．
【答案】
（1）证明：∵数列{an}的前n项和为Sn，a1= 
，Sn=n2an﹣n（n﹣1），
∴n≥2时，有an=Sn﹣Sn﹣1，
∴Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n（n﹣1），
∴（n2﹣1）Sn=n2Sn﹣1+n（n﹣1），
∴ 
= 
+1，
∴ 
= 
+1，
又 
= 
=1，
∴数列{ 
Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴ =1+（n﹣1）×1=n，
∴Sn=n× 
= 
（2）证明：bn= 
= 
= 
= 
，
∴b1+b2+…+bn= （ 
）
= 
= 
= 
．
∴b1+b2+…+bn＜ 
【解析】（1）由已知条件得Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n（n﹣1），从而 
= 
+1，由此能证明数列{ 
Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，从而得到Sn=n× 
= 
．（2）由bn= 
= 
= 
= 
，利用裂项求和法能证明b1+b2+…+bn＜ 
．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差关系的确定的相关知识，掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即
－
=d ，（n≥2，n∈N
）那么这个数列就叫做等差数列，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
．
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