Question

【题目】如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点，PA⊥平面ABC，E是PC的中点， ，PA=AC=1．

（1）求证：AE⊥PB；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC

∴PA⊥BC，

又AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，又PA∩AC=A

∴BC⊥平面PAC，又AE平面PAC

∴BC⊥AE

∵PA=AC，E是PC的中点

∴AE⊥PC，又BC∩PC=C

∴AE⊥平面PBC，又PB平面PBC

∴AE⊥PB

（2）证明：过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF

又由（1）得AE⊥PB，AE∩AF=A

∴PB⊥平面AEF，又EF平面AEF

∴PB⊥EF，又AF⊥PB

∴∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角

∵在Rt△PAC中，PA=AC=1，则 ，

在Rt△PAB中，PA=1， ，同理得

∴在Rt△AEF中，

故二面角A﹣PB﹣C的正弦值为 ．

【解析】（1）由线面垂直得PA⊥BC，由圆O的直径，得AC⊥BC，从而AE平面PAC，进而BC⊥AE，由等腰三角形性质得AE⊥PC，由此能证明AE⊥PB．（2）过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF，推导出∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的正弦值．
【考点精析】利用空间中直线与直线之间的位置关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．