Question

【题目】已知向量 =（ex ， lnx+k）， =（1，f（x））， ∥ （k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xexf′（x）．
（1）求k的值及F（x）的单调区间；
（2）已知函数g（x）=﹣x2+2ax（a为正实数），若对任意x2∈[0，1]，总存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得：f（x）= ，

∴ ，

由已知， ，

∴k=1

∴F（x）=xexf'（x）= ，

所以F'（x）=﹣lnx﹣2

由 ，

由

∴F（x）的增区间为 ，减区间为

（2）解：∵对于任意x2∈[0，1]，总存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），

∴g（x）max＜F（x）max…（6分）

由（I）知，当 时，F（x）取得最大值 ．

对于g（x）=﹣x2+2ax，其对称轴为x=a

当0＜a≤1时， ，

∴ ，从而0＜a≤1

当a＞1时，g（x）max=g（1）=2a﹣1，

∴ ，从而

综上可知：

【解析】（1）利用向量平行的条件求出函数y=f（x），再求出此函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f′（1）=0，则k值可求；从而得出F（x）的解析式，求出函数F（x）的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数F（x）的单调区间．（2）对于任意x2∈[0，1]，总存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），等价于g（x）max＜F（x）max ， 再求得F（x）取得最大值；利用二次函数的图象，对a进行分类讨论，得出g（x）在[0，1]上的最大值，由g（x）在[0，1]上的最大值小于F（x）max得a的范围，结合分类时a的范围得a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．