题目内容
【题目】已知数列{an}满a1=a,a2=b,3an+2﹣5an+1+2an=0(n≥0,n∈N),求数列{an}的通项公式.
【答案】解:∵3an+2﹣5an+1+2an=0, ∴an+2﹣an+1= (an+1﹣an),
且a2﹣a1=b﹣a.
∴{an+1﹣an}是以b﹣a为首项,以 为公比的等比数列,
∴an+1﹣an=(b﹣a)( )n﹣1 ,
∴an﹣an﹣1=(b﹣a)( )n﹣2 ,
an﹣1﹣an﹣2=(b﹣a)( )n﹣3 ,
…
a3﹣a2=(b﹣a) ,
a2﹣a1=b﹣a,
以上各式相加得:
an﹣a1=(b﹣a)[1+ +(
)2+…+(
)n﹣2]=
(b﹣a)=3[1﹣(
)n﹣1](b﹣a).
∴an=3[1﹣( )n﹣1](b﹣a)+a=3b﹣2a+3(
)n﹣1(a﹣b)
【解析】将条件式移项可得an+2﹣an+1= (an+1﹣an),故而{an+1﹣an}是等比数列,从而得出an﹣an﹣1=(b﹣a)(
)n﹣2 , 使用累加法求出通项公式.
【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式,需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案.
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