题目内容

若定义在R上的函数对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f(x)>1,若f(4)=5,则不等式f(3m-2)<3的解集为______.
由题意,可得
令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)-1,可得f(0)=1,
令x1=-x,x2=x,则f[(-x)+x]=f(-x)+f(x)-1=1,
∴化简得:[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0,
∴记F(x)=f(x)-1,可得F(-x)=-F(x),即F(x)为奇函数.
任取x1,x2∈R,且x1>x2,则x1-x2>0,
F(x1)-F(x2)=F(x1)+F(-x2)=[f(x1)-1]+[f(-x2)-1]
=[f(x1)+f(-x2)-2]=[f(x1-x2)-1]=F(x1-x2
∵当x>0时f(x)>1,可得x>0时,F(x)=f(x)-1>0,
∴由x1-x2>0,得F(x1-x2)>0,即F(x1)>F(x2).
∴F(x)=f(x)-1是R上的增函数,因此函数y=f(x)也是R上的增函数.
∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,且f(4)=5,
∴f(4)=f(2)+f(2)-1=5,可得f(2)=3.
因此,不等式f(3m-2)<3化为f(3m-2)<f(2),
可得3m-2<2,解之得m
4
3
,即原不等式的解集为(-∞,
4
3
).
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