题目内容
【题目】已知四边形为等腰梯形,
,
沿对角线将
旋转,使得点
至点
的位置,此时满足
.
(1)判断的形状,并证明;
(2)求二面角的平面角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)由题意可得: ,又
,所以
平面
,进而得到
,
又,故
为直角三角形;
(2)建立空间直角坐标系,求出两个半平面的法向量,代入公式即可得到二面角的平面角的余弦值,进而得正弦值.
试题解析:
(1)为等腰直角三角形,
证明:在等腰梯形中,由平面几何知识可得
,又
,
由余弦定理得,则
,故
,
折叠后,又
,故
平面
,
而面
,故
,
又,故
为直角三角形.
(2)由(1)知平面
,
,以点
为坐标原点,以
所在的直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
则,
平面的法向量为
,则
,
取故,
,
同理可求得平面的一个法向量
,
设二面角的平面角为
,则
,
结合图形可知.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】高中生在被问及“家,朋友聚集的地方,个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了55人,从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是:选择家的占、朋友聚集的地方占
、个人空间占
.美国高中生答题情况是:家占
、朋友聚集的地方占
、个人空间占
.为了考察高中生的“恋家(在家里感到最幸福)”是否与国别有关,构建了如下
列联表.
在家里最幸福 | 在其它场所幸福 | 合计 | |
中国高中生 | |||
美国高中生 | |||
合计 |
(Ⅰ)请将列联表补充完整;试判断能否有
的把握认为“恋家”与否与国别有关;
(Ⅱ)从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法,随机抽取了5人,再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“恋家”人数为,求随机变量
的分布列及期望.
附: ,其中
.
0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |