Question

【题目】已知椭圆C： ， ，圆： 的圆心到直线的距离为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线与圆相切，且与椭圆C相交于两点，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）根据题意写出直线方程，由点线距离公式得到参数值，进而得到方程；（2）先考虑直线的斜率不存在的情况，一般是联立直线和曲线，再由弦长公式得到，根据不等式的放缩得到最值。

解析：

（Ⅰ）由已知得，直线的方程为: .

由, 得点O到直线的距离为： 解得

故椭圆C的方程为 .

（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

代入，得，此时.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

因为直线与圆相切，所以即

由，消去，整理得

所以

由得，

设点，则，

所以

，

当且仅当即时， 有最大值为.

综上所述， 的最大值为.