Question

【题目】在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度， 为答对该题的人数， 为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试.共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：

测试后，随机抽取了 20名学生的答题数据进行统计，结果如下

（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；

（2）从抽取的20名学生中再随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；

（3）定义统计量，其中为第题的实测难度， 为第题的预估难度.规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.试据此判断本次测试的难度预估是否合理.

Answer 1

【答案】(1)96人；(2)见解析， （3）该次测试的难度预估是合理的

【解析】试题分析：（1）题设中给出了难度系数是答对该题的人数除以参加考试的总人数，由第二张表可知实测难度为，故估计240人中答对该题的人数约为96人.（2）离散型随机变量服从超几何分布，利用公式可以计算出、、，列表给出分布列，并利用公式计算.（3）先计算出各题的实测难度，根据题设给出的公式计算,该次测试的难度预估是合理的.

解析：（1）因为20人中答对第5题的人数为8人，因此第5题的实测难度为.所以，估计240人中有人实测答对第5题.

（2）的可能取值是 ； ； .

的分布列为：

.

（3）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为24O名学生第题的实测难度.各题的实测难度如下表：

题号	1	2	3	4	5
实测难度	0.8	0.8	0.7	0.7	0.4

所以，因为，所以，该次测试的难度预估是合理的.