Question

2．设P为△ABC内一点，且$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AC}$，则△ABP与△ACP的面积之比为（　　）

• A． 3：2
• B． 2：3
• C． 3：7
• D． 7：2

Answer 1

分析 画出图形如图：设∠BAC=α，作PD⊥AC于D，BM⊥AC于M，作PDE⊥AB于E，CN⊥AB于N，表示出两个三角形的面积，然后求出比值即可．

解答 解：画出图形如图：设∠BAC=α，作PD⊥AC于D，BM⊥AC于M，
作PDE⊥AB于E，CN⊥AB于N，
P为△ABC内一点，且$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AC}$，
可得PE=$\frac{2}{7}$CN=$\frac{2}{7}$ACsinα，
PD=$\frac{3}{7}BM$=$\frac{3}{7}$ABsinα，
S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PE=$\frac{1}{2}$AB•$\frac{2}{7}$ACsinα，
S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•PD=$\frac{1}{2}$AC•$\frac{3}{7}$ABsinα，
∴△ABP与△ACP的面积之比为：$\frac{2}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查向量在几何中的应用，三角形面积性质：同（等）底同（等）高的三角形面积相等；同（等）底三角形面积这比等于高之比；同（等）高三角形面积之比等于底之比．