Question

13．设函数f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{1{0}^{x}+1}$（a＞0且a≠1）的图象关于原点对称
（1）求实数a的值，并判断f（x）的定义域内的单调性；
（2）当θ∈[0，$\frac{π}{2}$]时，有f（cos⁴θ+4mtanθ$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$）+f（-2m-2-sin⁴θ）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）关于原点对称便知f（x）为奇函数，从而有f（-1）=-f（1），这样即可求出a=10，从而得出$f（x）=1-\frac{2}{1{0}^{x}+1}$，根据反比例函数及指数函数、复合函数的单调性便知f（x）在R上单调递增；
（2）根据已知及f（x）的单调性、奇偶性便可由原不等式得到cos⁴θ+4msinθ＜2m+2+sin⁴θ，进一步化简可得2m（1-2sinθ）＞-2sin²θ-1，可考虑不等式两边同除以1-2sinθ，从而需讨论θ：$θ=\frac{π}{6}$时，不等式变成$0＞-\frac{3}{2}$，显然恒成立；$0≤θ＜\frac{π}{6}$时，不等式便变成$m＞\frac{2si{n}^{2}θ+1}{2（2sinθ-1）}$，可换元，令sinθ=t，便得到函数y=$\frac{2{t}^{2}+1}{2（2t-1）}$，通过求导，根据导数符号可判断该函数在$[0，\frac{1}{2}），（\frac{1}{2}，1]$上单调递减，从而可求出y的最大值为$y=-\frac{1}{2}$，从而得出m$＞-\frac{1}{2}$；$\frac{π}{6}＜θ≤\frac{π}{2}$时，根据上一步便可得出m$＜\frac{3}{2}$，这几个m的范围求交集即可得出实数m的取值范围．

解答 解：（1）根据条件知，f（x）为奇函数；
∴f（-1）=-f（1）；
∴$\frac{{a}^{-1}-1}{1{0}^{-1}+1}=-\frac{a-1}{10+1}$；
解得a=10，或a=1（舍去）；
∴$f（x）=\frac{1{0}^{x}-1}{1{0}^{x}+1}$=$1-\frac{2}{1{0}^{x}+1}$；
可以看出x增大时，10^x增大，$-\frac{2}{1{0}^{x}+1}$增大，即f（x）增大；
∴f（x）在定义域上是增函数；
（2）根据$θ∈[0，\frac{π}{2}]$及f（x）为奇函数，由原不等式得，f（cos⁴θ+4msinθ）＜f（2m+2+sin⁴θ）；
f（x）在R上为增函数；
∴cos⁴θ+4msinθ＜2m+2+sin⁴θ；
∴（cos²θ+sin²θ）（cos²θ-sin²θ）＜2m（1-2sinθ）+2；
∴2m（1-2sinθ）＞-2sin²θ-1；
①若$θ=\frac{π}{6}$，则sin$θ=\frac{1}{2}$，∴$0＞-\frac{1}{2}-1$恒成立；
②若$0≤θ＜\frac{π}{6}$，则1-2sinθ＞0；
∴$m＞\frac{2si{n}^{2}θ+1}{2（2sinθ-1）}$，设sinθ=t，0≤t$＜\frac{1}{2}$，则$y=\frac{2{t}^{2}+1}{2（2t-1）}$，$y′=\frac{2{t}^{2}-2t-1}{2（2t-1）^{2}}$；
令y′=0得，$t=\frac{1±\sqrt{3}}{2}$；
∴函数y在[0，$\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{2}，1$]上单调递减；
∴t=0时，y在t∈[0，$\frac{1}{2}$）上取最大值$-\frac{1}{2}$；
即$\frac{2si{n}^{2}θ+1}{2（2sinθ-1）}$的最大值为$-\frac{1}{2}$；
∴$m＞-\frac{1}{2}$；
③若$\frac{π}{6}＜θ≤\frac{π}{2}$，则1-2sinθ＜0；
∴m$＜\frac{2si{n}^{2}θ+1}{2（2sinθ-1）}$；
根据上面知，sinθ=1时，$\frac{2si{n}^{2}θ+1}{2（2sinθ-1）}$取最小值$\frac{3}{2}$；
∴$m＜\frac{3}{2}$；
综上得实数m的取值范围为$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．

点评 考查奇函数的定义，指数函数、反比例函数，以及复合函数的单调性，分离常数法的运用，切化弦公式，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据单调性定义求函数的最值，要正确求导．