题目内容
(本题满分14分)设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件:①直线l与曲线S相切且至少有两个切点;②对任意x∈R都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”.(Ⅰ)已知函数.求证:为曲线的“上夹线”.
(Ⅱ)观察下图:
根据上图,试推测曲线的“上夹线”的方程,并给出证明.
略
解析:
(Ⅰ)由得, -------1分
分当时,,此时,, -------2分
,所以是直线与曲线的一个切点;-------3分
当时,,此时,, ------4分
,所以是直线与曲线的一个切点; -----5分
所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点;
对任意x∈R,,所以 --------6分
因此直线是曲线的“上夹线”. ----------7分
(Ⅱ)推测:的“上夹线”的方程为 ------9分
①先检验直线与曲线相切,且至少有两个切点:
设: ,
令,得:(kZ)-----10分
当时,
故:过曲线上的点(,)的切线方程为:
y-[]= [-()],化简得:.
即直线与曲线相切且有无数个切点. ----12分
不妨设,②下面检验g(x)F(x)g(x)-F(x)=
直线是曲线的“上夹线”. --------14分
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