题目内容

(本题满分14分)设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件:①直线l与曲线S相切且至少有两个切点;②对任意xR都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”.(Ⅰ)已知函数.求证:为曲线的“上夹线”.

(Ⅱ)观察下图:

           

    根据上图,试推测曲线的“上夹线”的方程,并给出证明.


解析:

(Ⅰ)由, -------1分

分当时,,此时, -------2分

,所以是直线与曲线的一个切点;-------3分

时,,此时, ------4分

,所以是直线与曲线的一个切点;  -----5分

所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点;

对任意xR,所以  --------6分

因此直线是曲线的“上夹线”.        ----------7分

(Ⅱ)推测:的“上夹线”的方程为       ------9分

①先检验直线与曲线相切,且至少有两个切点:

设: 

,得:kZ)-----10分

时,

故:过曲线上的点()的切线方程为:

y[]= [-()],化简得:

即直线与曲线相切且有无数个切点. ----12分

不妨设,②下面检验g(x)F(x)g(x)F(x)=

直线是曲线的“上夹线”. --------14分

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