题目内容
【题目】已知抛物线的焦点到准线的距离为
,直线
与抛物线
交于
,
两点,过这两点分别作抛物线
的切线,且这两条切线相交于点
.
(1)若点的坐标为
,求
的值;
(2)设线段的中点为
,过
的直线
与线段
为直径的圆相切,切点为
,且直线
与抛物线
交于
,
两点,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由定义可得,设切线
的方程为
,代入
,得
,由
得
,分类讨论即可求出答案;
(2)由(1)可得点以线段为直径的圆的方程为
,根据对称性,不妨设直线
的斜率为正数,由
可求得
,联立直线与抛物线方程并整理得
,设
,
,利用韦达定理即可求出答案.
解:(1)∵抛物线的焦点到准线的距离为
,
∴,故抛物线
的方程为
,
设切线的方程为
,
代入,得
,
由得
,
当时,点
的横坐标为
,则
,
当时,同理可得
,
综上可得;
(2)由(1)知,,
,
∴以线段为直径的圆的方程为
,
根据对称性,不妨设直线的斜率为正数,
∵为直线
与圆
的切点,
∴,
,∴
,
∴,
,
∴直线的方程为
,
由,整理得
,
∵,∴
,
设,
,则
,
,
∴,
∵,∴
,
∴,
∴.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了响应党的十九大所提出的教育教学改革,某校启动了数学教学方法的探索,学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班,每班40人,甲班按原有传统模式教学,乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验,将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数,两个班学生的平均成绩均在,按照区间
,
,
,
,
进行分组,绘制成如下频率分布直方图,规定不低于80分(百分制)为优秀.
0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 |
(1)完成表格,并判断是否有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”;
甲班 | 乙班 | 合计 | |
大于等于80分的人数 | |||
小于80分的人数 | |||
合计 |
(2)从乙班,
,
分数段中,按分层抽样随机抽取7名学生座谈,从中选三位同学发言,记来自
发言的人数为随机变量
,求
的分布列和期望.
【题目】每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间,但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系,在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数,得到了如下数据:
温差 | 8 | 10 | 11 | 12 | 13 |
发芽数 | 79 | 81 | 85 | 86 | 90 |
(1)请根据统计的最后三组数据,求出关于
的线性回归方程
;
(2)若由(1)中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗,则认为线性回归方程是可靠的,试判断(1)中得到的线性回归方程是否可靠;
(3)若100颗小麦种子的发芽率为颗,则记为
的发芽率,当发芽率为
时,平均每亩地的收益为
元,某农场有土地10万亩,小麦种植期间昼夜温差大约为
,根据(1)中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.
附:在线性回归方程中,
.