题目内容
【题目】已知椭圆C:的长轴是短轴的两倍,点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点,设直线OA、l、OB的斜率分别为、、,且、、恰好构成等比数列.
(Ⅰ)求椭圆C的方程.
(Ⅱ)试探究是否为定值?若是,求出这个值;否 则求出它的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)5.
【解析】
试题(Ⅰ)求椭圆标准方程,一般利用待定系数法,只需列出两个独立条件解方程组即可;(Ⅱ)研究解析几何中定值问题,一般利用坐标运算(即解析法).先将条件、、构成等比数列转化为坐标:设,则=,再利用直线方程与椭圆方程联立,结合韦达定理得,两者结合化简得:,,最后将也用坐标表示并代入化简为:=
=
试题解析:解:(Ⅰ)由题意可知且,a=2
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)设直线的方程为,
由
且
恰好构成等比数列.=
即
因为,
此时,即
故==
所以是定值为5.
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