题目内容
【题目】已知函数.(
是自然对数的底数,
)
(1)讨论的单调性,并证明
有且仅有两个零点;
(2)设是
的一个零点,证明曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线.
【答案】(1)单调递增,证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)求出函数的定义域为
,利用导数得出函数
在
和
上均为增函数,并利用零点存在定理得出函数
在
上有一个零点
,得出
,再证明出
也满足方程
,从而得出函数
有两个零点;
(2)由题意得出,利用这个关系式得出函数
在点
处的切线斜率为
,从而证明出题中结论.
(1)函数的定义域为
,
,
所以,函数在
、
上单调递增.
又,
.
所以,函数在区间
有唯一零点
,即
,即
.
又,
,
因此,函数在区间
有唯一零点
.
综上所述,有且仅有两个零点;
(2)因为 ,所以点
在曲线
上.
由题设,即
.
所以直线的斜率
因为曲线在点
处切线的斜率是
,
曲线在点
处切线的斜率也是
,
因此,曲线在点
处的切线也是曲线
的切线.
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