Question

【题目】已知椭圆的离心率为，为椭圆上任意一点，且已知.

（1）若椭圆的短轴长为，求的最大值；

（2）若直线交椭圆的另一个点为，直线交轴于点，点关于直线对称点为，且，三点共线，求椭圆的标准方程.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）

【解析】

（1）由，，解方程组得到椭圆的方程，再利用两点间的距离公式计算即可；

（2）当斜率为时，三点共线；当斜率不为时，设直线，联立椭圆方程得到根与系数的关系，再利用三点共线，即计算即可得到椭圆方程.

（1）由题意，∴，且，∴，

所以，

设，则

∵，故当时，.

（2）当斜率为时，三点共线；

当斜率不为时，设直线，与椭圆，即联立得：

，设，，则

，，

又由题知，，∴，

故由三点共线得，即，

∴，∴

代入韦达定理得：，∴，，

故椭圆方程为.