Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若不过坐标原点的直线与椭圆相交于、两点，且满足，求面积最大时直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由题意列关于,,的方程组,求解,的值,则椭圆方程可求;

(2)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的方程为,,,,,联立直线方程与椭圆方程,化为关于的一元二次方程,利用根与系数的关系及向量等式可得值,写出三角形面积公式,得到关于的函数式,整理后利用基本不等式求最值,然后求得的方程.

(1)由题意得,解得,

所以椭圆的方程为;

(2)由题意可知,直线的斜率显然存在,

设直线的方程为,,,

由得,

①

所以,所以,

因为,所以,

所以,代入①得且,

所以

,

当且仅当,即时上式取等号,此时符合题意,

所以直线的方程为.