Question

等差数列{a_n}的前n项和为Sn，a1=2+

2

，S3=12+3

2

．
（1）求数列{a_n}的通项a_n与前n项和S_n；
（2）设bn=

Sn

n

-1(n∈N*)，求证：数列{b_n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

Answer 1

分析：（1）设公差为d，由已知得

a1= 2 +2 3a1+3d=12+3 2

，求出d=2，从而利用等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式求得数列{a_n}的通项a_n与前n项和S_n ．
（2）由（1）得bn=

Sn

n

-1=n+

2

，假设数列{b_n}中存在三顶bp，

b

q

，br（p、q、r互不相等）成等比数列，可得p=r，这与p≠r矛盾，命题得证．

解答：解：（1）设公差为d，由已知得

a1= 2 +2 3a1+3d=12+3 2

，∴d=2，…（2分）
由此求得 an=2n+

2

，Sn=n(n+1+

2

)．…（5分）
（2）由（1）得bn=

Sn

n

-1=n+

2

．…（7分）
假设数列{b_n}中存在三顶bp，

b

q

，br（p、q、r互不相等）成等比数列，
则

b

2 q

=bpbr，即(q+

2

)2=(p+

2

)(r+

2

)，
∴(q2-pr)+(2q-p-r)

2

=0．…（10分）
∵p，q，r∈N*，∴

q2-pr=0 2p-p-r=0

，…（12分）
∴(

p+r

2

)2=pr，(p-r)2=0，∴p=r，…（15分）
这与p≠r矛盾．所以数列{b_n}中任意不同的三项都不可能成等比数列．…（16分）

点评：本题主要考查等比关系的确定，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，用反证法证明数学命题，属于中档题．