题目内容

在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,(其中为参数,),在极坐标系(以坐标原点为极点,以轴非负半轴为极轴)中,曲线的极坐标方程为
(1)把曲线的方程化为直角坐标方程;
(2)若曲线上恰有三个点到曲线的距离为,求曲线的直角坐标方程.

(1)曲线的直角坐标方程为:;曲线的直角坐标方程为
(2)曲线的直角坐标方程为

解析试题分析:(1)对于曲线,把已知参数方程第一式和第二式移向,使等号右边分别仅含,平方作和后可得曲线的直角坐标方程;对于曲线,把代入极坐标方程的展开式中即可得到曲线的直角坐标方程.
(2)由于圆的半径为,所以所求曲线与直线平行,且与直线相距时符合题意.利用两平行直线的距离等于,即可求出,进而得到曲线的直角坐标方程.
试题解析:(1)曲线的参数方程为,即,将两式子平方化简得,
曲线的直角坐标方程为:
曲线的极坐标方程为,即
所以曲线的直角坐标方程为
(2)由于圆的半径为,故所求曲线与直线平行,且与直线相距时符合题意.由,解得.故曲线的直角坐标方程为
考点:圆的参数方程;直线与圆的位置关系;简单曲线的极坐标方程.

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