Question

5．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M为PB的中点，N在BC上，且BN=$\frac{1}{3}$BC
（1）求证：MN⊥AB
（2）求二面角P-AN-M的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AN为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{MN}$的坐标，证数量积为0即可；
（2）平面PAN的法向量可取为$\overrightarrow{AC}$=（0，1，0），待定系数可得平面AMN的法向量$\overrightarrow{n}$，计算向量的夹角余弦值即可得到二面角P-AN-M的余弦值．

解答 解：（1）由题意可得∠BAN=30°，∴∠NAC=120°-30°=90°，
以A为原点，AN为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
可得A（0，0，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），M（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{1}{4}$，$-\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{MN}$=0，∴MN⊥AB
（2）由（1）知P（0，0，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），
平面PAN的法向量可取为$\overrightarrow{AC}$=（0，1，0），
设平面AMN的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=\frac{\sqrt{3}}{4}x-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AN}=\frac{\sqrt{3}}{3}x=0}\end{array}\right.$，故可取量$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
∴二面角P-AN-M的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

点评 本题考查空间向量法解决立体几何问题，涉及二面角的求解，属中档题．