Question

(1)m为何值时，f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4.
①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；
(2)若函数f(x)＝|4x－x²|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

(1) ① m＝4或m＝－1；②(－5，－1)；(2) (－4,0)．

解析试题分析：(1) ①由函数的零点与方程根之间的关系可知函数f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，等价于方程f(x)＝0有两个相等实根，而此方程是关于x的一元二次方程，所以其判别式Δ＝0，从而可求得m的值；②函数f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4有两个零点且均比－1大，结合二次函数图象可知首先其判别式应大于零，同时其对称轴应在-1的右侧，并且函数在-1的函数值大于零；从而获得一个关于m的不等式组，解此不等式组即可求得m的取值范围；(2) 函数f(x)＝|4x－x²|＋a有4个零点等价于|4x－x²|＝－a，也即函数g(x)＝|4x－x²|的图象与直线y＝－a有四个不同的交点，作出图象即可求出a的取值范围.
试题解析：(1)①f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，即方程f(x)＝0有两个相等实根，亦即Δ＝0，即4m²－4(3m＋4)＝0，即m²－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.
②由题意，知
即
∴－5<m<－1.
∴m的取值范围为(－5，－1)．
(2)令f(x)＝0，得|4x－x²|＋a＝0，
即|4x－x²|＝－a.
令g(x)＝|4x－x²|，h(x)＝－a.
作出g(x)、h(x)的图象．

由图象可知，当0<－a<4，即－4<a<0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点．故a的取值范围为(－4,0)．
考点：1.函数零点的概念；2.函数的零点与方程的根及函数图象交点之间的关系.