题目内容

(1)m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.
①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;
(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.

(1) ① m=4或m=-1;②(-5,-1);(2) (-4,0).

解析试题分析:(1) ①由函数的零点与方程根之间的关系可知函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,等价于方程f(x)=0有两个相等实根,而此方程是关于x的一元二次方程,所以其判别式Δ=0,从而可求得m的值;②函数f(x)=x2+2mx+3m+4有两个零点且均比-1大,结合二次函数图象可知首先其判别式应大于零,同时其对称轴应在-1的右侧,并且函数在-1的函数值大于零;从而获得一个关于m的不等式组,解此不等式组即可求得m的取值范围;(2) 函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点等价于|4x-x2|=-a,也即函数g(x)=|4x-x2|的图象与直线y=-a有四个不同的交点,作出图象即可求出a的取值范围.
试题解析:(1)①f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,即方程f(x)=0有两个相等实根,亦即Δ=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,∴m=4或m=-1.
②由题意,知

∴-5<m<-1.
∴m的取值范围为(-5,-1).
(2)令f(x)=0,得|4x-x2|+a=0,
即|4x-x2|=-a.
令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.
作出g(x)、h(x)的图象.

由图象可知,当0<-a<4,即-4<a<0时,g(x)与h(x)的图象有4个交点,即f(x)有4个零点.故a的取值范围为(-4,0).
考点:1.函数零点的概念;2.函数的零点与方程的根及函数图象交点之间的关系.

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