题目内容
18.设点P在曲线y=2ex上,点Q在曲线y=lnx-ln2上,则|PQ|的最小值为( )A. | 1-ln2 | B. | $\sqrt{2}$(1-ln2) | C. | 2(1+ln2) | D. | $\sqrt{2}$(1+ln2) |
分析 考虑到两曲线关于直线y=x对称,求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离,再利用导数的几何意义,求曲线上斜率为1的切线方程,由点到直线的距离公式即可得到最小值.
解答 解:∵解:∵y=2ex与y=lnx-ln2互为反函数,
先求出曲线y=2ex上的点到直线y=x的最小距离.
设与直线y=x平行且与曲线y=2ex相切的切点P(x0,y0).
y′=2ex,
∴2${e}^{{x}_{0}}$=1,解得x0=ln$\frac{1}{2}$=-ln2
∴y0=$2{e}^{ln\frac{1}{2}}$=1.
得到切点P(-ln2,1),到直线y=x的距离d=$\frac{|-ln2-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}(1+ln2)}{2}$,
丨PQ丨的最小值为2d=$\sqrt{2}$(1+ln2),
故选:D.
点评 本题主要考查了互为反函数的函数图象的对称性,导数的几何意义,曲线的切线方程的求法,转化化归的思想方法.
练习册系列答案
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