Question

8．已知数列{a_n}中，a₁=1且n＞1时，2S_n²=2a_nS_n-a_n，求a_n．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1、化简2${{S}_{n}}^{2}$=2a_nS_n-a_n，可知数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列，利用a_n=S_n-S_n-1计算即得结论．

解答 解：依题意，2${{S}_{n}}^{2}$=2a_nS_n-a_n
=2（S_n-S_n-1）S_n-（S_n-S_n-1）
=2${{S}_{n}}^{2}$-2S_n-1S_n-S_n+S_n-1，
∴2S_n-1S_n=-S_n+S_n-1，
∴2=-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$+$\frac{1}{{S}_{n}}$，
即$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{n-1}}$+2，
又∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$，
又∵a₁=1不满足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．