题目内容
【题目】(2017·郑州第二次质量预测)如图,高为1的等腰梯形ABCD中,AM=CD=AB=1.现将△AMD沿MD折起,使平面AMD⊥平面MBCD,连接AB,AC.
(1)在AB边上是否存在点P,使AD∥平面MPC?
(2)当点P为AB边的中点时,求点B到平面MPC的距离.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1) 连接BD交MC于点N,则,因此AP=
AB ,再根据线面平行判定定理得结论(2)利用等体积法
,再根据AM⊥平面MBCD,得
,最后计算三角形面积代入可得结果
试题解析:解:(1)当AP=AB时,有AD∥平面MPC.
理由如下:
连接BD交MC于点N,连接NP.
在梯形MBCD中,DC∥MB,=
=
,
在△ADB中,=
,∴AD∥PN.
∵AD平面MPC,PN平面MPC,
∴AD∥平面MPC.
(2)∵平面AMD⊥平面MBCD,平面AMD∩平面MBCD=DM,AM⊥DM,∴AM⊥平面MBCD.
∴VPMBC=×S△MBC×
=
×
×2×1×
=
.
在△MPC中,MP=AB=
,MC=
,
又PC==
,
∴S△MPC=×
×
=
.
∴点B到平面MPC的距离为
d==
=
.
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