题目内容

(本小题满分15分)
在等差数列{an}中,a1=1,公差d≠0,且a1,a2,a5是等比数列{bn}的前三项.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Sn
(1)bn=3n-1;(2)(2)Sn=(n-1)·3n+1
本试题主要是考查了数列的概念,和数列的求和,尤其是等差数列和等比数列的性质的运用,以及利用错位相减法求解数列的和的思想的综合运用。
(1)根据已知的项之间的关系式,运用基本元素表示得到数列的通项公式的求解
(2)结合第一问中的结论,得到cn=an·bn=(2n-1)·3n-1,的通项公式,分析通项公式的特点,选择错位相减法求解数列的和。
解: (1)由a1,a2,a5是等比数列{bn}的前三项得,
a22= a1·a5⇒(a1+d)2=a1· (a1+4d)                            ········ 2分
⇒a12+2a1d+ d2 = a12+4a1d⇒d2 =2a1d,又d≠0,所以d=2a1=2,
从而an= a1+(n-1) d=2n-1,                            ·········· 5分
则b1= a1=1,b2= a2=3,
则等比数列{bn}的公比q=3,从而bn=3n-1.               ··········· 7分
(2)由(1)得,cn=an·bn=(2n-1)·3n-1,                       ········ 8分
则Sn= 1·1+3·3+5·32+7·33+…+(2n-1)·3n-1               ①
3Sn=    1·3+3·32+5·33+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n       ②  ······· 10分
①-②得, -2Sn= 1·1+2·3+2·32+2·33+…+2·3n-1-(2n-1)·3n 
=1+2×-(2n-1)·3n=-2 (n-1)·3n-2             ······· 13分
则Sn=(n-1)·3n+1.                                    15分
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