题目内容
1.函数y=$\frac{{{x^2}+2}}{x-1}$(x>1)的最小值是2$\sqrt{3}$+2.分析 利用基本不等式法进行求解即可.
解答 解:y=$\frac{{{x^2}+2}}{x-1}$=$\frac{(x-1)^{2}+2(x-1)+3}{x-1}$=x-1+$\frac{3}{x-1}$+2,
∵x>1,
∴x-1>0,
则x-1+$\frac{3}{x-1}$+2≥2$\sqrt{(x-1)•\frac{3}{x-1}}$+2=2$\sqrt{3}$+2,
当且仅当x-1=$\frac{3}{x-1}$,即x-1=$\sqrt{3}$,x=$\sqrt{3}+1$时,取等号,
故y=$\frac{{{x^2}+2}}{x-1}$(x>1)的最小值是2$\sqrt{3}$+2,
故答案为:2$\sqrt{3}$+2
点评 本题主要考查函数最值的求解,利用基本不等式法是解决本题的关键.
练习册系列答案
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A. | 2π | B. | π | C. | $\frac{2π}{3}$ | D. | $\frac{π}{2}$ |