题目内容
【题目】f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=.
(1)求f和f
+
的值;
(2)数列{an}满足:an=f(0)+f+…+f
+f(1),数列{an}是等差数列吗?请给予证明;
(3)令bn=,
,证明Tn<2.
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析
【解析】试题分析:
(1)令可得
,令
可得
;
(2)结合(1)中的结论倒序相加可得: ,则数列
是等差数列;
(3) 结合(2)的结论可得,利用
放缩裂项求和可得
.
试题解析:
(1)因为f+f
=
,所以2f
=
,所以f
=
.
令x=,则f
+f
=f
+f
=
.
(2)an=f(0)+f+…f
+f(1),
又 an=f(1)+f+…f
+f(0),
两式相加2an=[f(0)+f(1)]++[f(1)+f(0)]=
,
所以an=,所以an+1-an=
,故数列{an}是等差数列.
(3) bn==
,
Tn=b+b+…+b=+
+…+
≤1+
+
+…+
=1+1-+
-
+…+
-
=2-
<2.

练习册系列答案
相关题目