题目内容
【题目】设函数,其中
.
(Ⅰ)当时,求曲线
在
处的切线方程;
(Ⅱ)讨论的极值点的个数;
(Ⅲ)若在y轴右侧的图象都不在x轴下方,求实数a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)答案不唯一,具体见解析(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)当时,求出函数
的导函数,再求出在
处的切线的斜率,最后利用点斜式求出切线方程;
(Ⅱ)求函数的导函数
,通过换元法,导函数
的解析式是二次项系数不确定的多项式函数,根据二次项系数等于零、大于零、小于零,结合一元二次方程根的判别式,分类讨论求出函数
的极值点的个数;
(Ⅲ)由题设可知,
.因此有当
时,
,
根据(Ⅱ)可知函数的单调性进行分类讨论;
①当时,利用函数
的单调性可以证明出
成立.
②当时,利用根与系数关系,和函数的单调性可以得到
.
③当时,利用放缩法、构造新函数,可以证明当
时,
不恒成立,最后确定a的取值范围.
解:(Ⅰ)当时,
,
,
所以,
.
曲线在
处的切线方程为
,即
.
(Ⅱ)由已知可得,
设,则
,记
,
(1)时,
,函数
在R上为增函数,没有极值点.
(2)当时,判别式
,
①若时,
,
,函数
在R上为增函数,没有极值点.
②若时,
,由
,抛物线
的对称轴为
,
可知的零点均为正数.
不妨设的两个不等正实数根为
,且
,
则,
所以当,
,
单调递增,
当,
,
单调递减,
当,
,
单调递增,
此时函数有两个极值点.
(3)若时,由
,
可知的两个不相等的实数根
,且
,
当,
,
单调递增,
当,
,
单调递减,
此时函数只有一个极值点.
综上:当时
无极值点;
当时
有一个极值点;
当时
有两个极值点.
(Ⅲ)由题设可知,
.
时,
,
由(Ⅱ)知:
①当时,函数
在R上为增函数,
,所以
成立;
②当时,
,
,所以
,
当时
单调递增,又
,
所以,,
等价于
,即
.
所以只需,即
.
所以,当时,也满足
,
;
③当时,
,
考察函数,
显然存在,使得
,
即存在,使得
,不满足
,
综上所述,a的取值范围是
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