题目内容

【题目】古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆,该圆简称为阿氏圆.根据以上信息,解决下面的问题:如图,在长方体中,,点在棱上,,动点满足.若点在平面内运动,则点所形成的阿氏圆的半径为________;若点在长方体内部运动,为棱的中点,的中点,则三棱锥的体积的最小值为___________

【答案】

【解析】

1)以AB轴,AD轴,轴,建立如图所示的坐标系,设,求出点P的轨迹为,即得解;(2)先求出点P的轨迹为P到平面的距离为,再求出的最小值即得解.

1)以AB轴,AD轴,轴,建立如图所示的坐标系,则

所以

所以若点在平面内运动,则点所形成的阿氏圆的半径为.

2)设点,由

所以

由题得

所以设平面的法向量为

所以

由题得

所以点P到平面的距离为

因为

所以,所以点M到平面的最小距离为

由题得为等边三角形,且边长为

所以三棱锥的体积的最小值为.

故答案为:(1). (2).

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