题目内容

设函数.
(1)当时,证明:函数不是奇函数;
(2)设函数是奇函数,求的值;
(3)在(2)条件下,判断并证明函数的单调性,并求不等式的解集.
(1)详见解析;(2);(3).

试题分析:(1)当时,,函数的定义域为,要证明函数不是奇函数,从奇函数的定义出发,可考虑选一个特殊值,满足,若最简单;(2)由函数是奇函数,则有对函数定义域内的任意一个,都满足,由此等式恒成立可得关于的等式求出,也可先用特殊数值求出,再进行检验;(3)先判断函数的单调性,再用定义法或导数法证明,再解不等式,解不等式时可直接求解,也可利用函数单调性求解.
试题解析:(1)当时,
,知函数不是奇函数.
(2)由函数是奇函数,得
对定义域内任意实数都成立,化简整理得
对定义域内任意实数都成立
所以,所以
经检验符合题意.
(3)由(2)可知
易判断为R上的减函数,证明如下:
因为,所以为R上的减函数;
,不等式即为,由在R上的减函数可得
所以不等式的解集为.
另解:由得,即,解得,所以.
(注:若没有证明的单调性,直接解不等式,正确的给3分)
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