Question

【题目】所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥 中， 是 的中点，且 ，底面边长 ，则正三棱锥 的体积为 ， 其外接球的表面积为 ．

Answer 1

【答案】；
【解析】取 中点 ，则 ， ，又∵ ，∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ ，又∵ ， ，∴ 平面 ，∴ ，
，根据对称性可知 ，从而可知 ， ， 两两垂直，如下图所示，

将其补为立方体，其棱长为 ，∴ ，其外接球即为立方体的外接球，半径 ，表面积 ．
【考点精析】本题主要考查了棱锥的结构特征的相关知识点，需要掌握侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方才能正确解答此题．