题目内容
（2013•虹口区二模）定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意两个数x1、x2都有f(
)≥
[f(x1)+f(x2)]成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．
（1）判断函数f（x）=lgx在R+上是否是“凸函数”，并证明你的结论；
（2）如果函数f(x)=x2+
在
上是“凸函数”，求实数a的取值范围；
（3）对于区间
上的“凸函数”f（x），在
上任取x1，x2，x3，…，xn．
①证明：当n=2k（k∈N*）时，f(
)≥
[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]成立；
②请再选一个与①不同的且大于1的整数n，
证明：f(
)≥
[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]也成立．
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（1）判断函数f（x）=lgx在R+上是否是“凸函数”，并证明你的结论；
（2）如果函数f(x)=x2+
| a |
| x |
|
（3）对于区间
|
|
①证明：当n=2k（k∈N*）时，f(
| x1+x2+…+xn |
| n |
| 1 |
| n |
②请再选一个与①不同的且大于1的整数n，
证明：f(
| x1+x2+…+xn |
| n |
| 1 |
| n |
分析：（1）利用作差法证明，即要证：f(
)≥
[f(x1)+f(x2)]，只要证f(
)-
[f(x1)+f(x2)]≥0即可；
（2）首先根据“凸函数”的定义得出不等关系式，再进行分离常数a，然后问题就转化为函数求最值的问题，求最值时利用基本不等式法，即可得到a的范围；
（3）①直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，验证k=1时不等式成立；（2）假设当k=m（m∈N*）时成立，利用放缩法证明k=m+1时，不等式也成立．②比如证明n=3不等式成立．
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）首先根据“凸函数”的定义得出不等关系式，再进行分离常数a，然后问题就转化为函数求最值的问题，求最值时利用基本不等式法，即可得到a的范围；
（3）①直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，验证k=1时不等式成立；（2）假设当k=m（m∈N*）时成立，利用放缩法证明k=m+1时，不等式也成立．②比如证明n=3不等式成立．
解答：解：（1）设x1，x2是R+上的任意两个数，则f(x1)+f(x2)-2f(
)=lgx1+lgx2-2lg
=lg
≤lg1=0∴f(
)≥
[f(x1)+f(x2)]．
∴函数f（x）=lgx在R+上是“凸函数”．…（4分）
（2）对于
上的任意两个数x1，x2，均有f(
)≥
[f(x1)+f(x2)]成立，
即(
)2+
≥
[(
+
)+(
+
)]，
整理得(x1-x2)2a≤-
(x1-x2)2x1x2(x1+x2)…（7分）
若x1=x2，a可以取任意值．
若x1≠x2，得a≤-
x1x2(x1+x2)，
∵-8＜-
x1x2(x1+x2)＜-1，∴a≤-8．
综上所述得a≤-8．…（10分）
（3）①当k=1时由已知得f(
)≥
[f(x1)+f(x2)]成立．
假设当k=m（m∈N*）时，不等式成立即f(
)≥
[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m)]成立．
那么，由c≤
≤d，c≤
≤d
得f(
)=f{
[
+
]}≥
[f(
)+f(
)]≥
{
[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m)]+
[f(x2m+1)+f(x2m+2)+…+f(x2m+1)]}=
[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m+1)]．
即k=m+1时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．…（15分）
②比如证明n=3不等式成立．由①知c≤x1≤d，c≤x2≤d，c≤x3≤d，c≤x4≤d，
有f(
)≥
[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]成立．
∵c≤x1≤d，c≤x2≤d，c≤x3≤d，c≤
(x1+x2+x3)≤d，
∴f(
)=f(
)≥
[f(
)+f(x1)+f(x2)+f(x4)]，
从而得f(
)≥
[f(x1)+f(x2)+f(x3)]．…（18分）
| x1+x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 4x1x2 |
| (x1+x2)2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴函数f（x）=lgx在R+上是“凸函数”．…（4分）
（2）对于
|
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
即(
| x1+x2 |
| 2 |
| a | ||
|
| 1 |
| 2 |
| x | 2 1 |
| a |
| x1 |
| x | 2 2 |
| a |
| x2 |
整理得(x1-x2)2a≤-
| 1 |
| 2 |
若x1=x2，a可以取任意值．
若x1≠x2，得a≤-
| 1 |
| 2 |
∵-8＜-
| 1 |
| 2 |
综上所述得a≤-8．…（10分）
（3）①当k=1时由已知得f(
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
假设当k=m（m∈N*）时，不等式成立即f(
| x1+x2+…+x2k |
| 2m+1 |
| 1 |
| 2m |
那么，由c≤
| x1+x2+…+x2m |
| 2m |
| x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m |
| 2m |
得f(
| x1+x2+…+x2m+1 |
| 2m+1 |
| 1 |
| 2 |
| x1+x2+…+x2m |
| 2m |
| x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m |
| 2m |
| 1 |
| 2 |
| x1+x2+…+x2m |
| 2m |
| x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m |
| 2m |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2m |
| 1 |
| 2m |
| 1 |
| 2m+1 |
即k=m+1时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．…（15分）
②比如证明n=3不等式成立．由①知c≤x1≤d，c≤x2≤d，c≤x3≤d，c≤x4≤d，
有f(
| x1+x2+x3+x4 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∵c≤x1≤d，c≤x2≤d，c≤x3≤d，c≤
| 1 |
| 3 |
∴f(
| x1+x2+x3 |
| 3 |
| ||
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| x1+x2+x3 |
| 3 |
从而得f(
| x1+x2+x3 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题给出了数学新定义凸函数，在判断一个函数是凸函数要根据定义，方法是“作差法”，本题的第一问与第二问紧密联系解题是要抓住这一点．难点在第三问，怎样根据数学归纳法原理证明不等式．
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