题目内容
【题目】在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ) 
.
【解析】
(Ⅰ) 由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为
，观众乙未选中3号歌手的概率为
，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
.
(Ⅱ)X的所有可能取值为0,1,2,3.由(Ⅰ)知，观众甲选中3号歌手的概率为
，观众乙选中3号歌手的概率为
，则观众丙选中3号歌手的概率也为，则
,
,
,
.
则X的分布列如下：
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
|
.
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