题目内容
【题目】已知函数
.
（1）当
时，求函数
的零点.
（2）当
，求函数在
上的最大值；
（3）对于给定的正数
，有一个最大的正数
，使
时，都有
，试求出这个正数的表达式.
【答案】（1）零点为
和1.（2）
.（3）
【解析】
（1）分类讨论得到
解析式，分别在
和
两种情况下构造方程求得零点；
（2）分类讨论得到解析式，可确定最大值在
中取得，分别在
、
和
三种情况下根据函数单调性确定最大值，从而得到结果；
（3）将问题转化为
恒成立的问题；分别在
和
两种情况下确定
的值，从而得到结果.
（1）当
时，
，
令
，解得：
或
（舍）；
令
，解得：
；
函数
的零点为和
；
（2）由题意得：
，其中
，
，最大值在中取.
当，即
时，在
上单调递减，
；
当，即
时，在
上单调递增，
上单调递减，
；
当，即
时，在
上单调递减，
上单调递增，
；
，
；
综上所述：
；
（3）
时，
，
，
，
问题转化为在给定区间内恒成立.
，分两种情况讨论：
当时，是方程
的较小根，
即
时，
；
当时，是方程
的较大根，
即
时，
；
综上所述：
.
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男 | 女 | 总计 | |
无 | 40 | 35 | 75 |
有 | 15 | 10 | 25 |
总计 | 55 | 45 | 100 |
附：
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 |
据此表，可得（ ）.
A.认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足
B.认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过
C.认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过
D.认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过
