题目内容
【题目】某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.
(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;
(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;
(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.
【答案】
(1)解:当0≤x≤200时,y=0.5x;
当200<x≤400时,y=0.5×200+0.8×(x﹣200)=0.8x﹣60,
当x>400时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x﹣400)=x﹣140,
所以y与x之间的函数解析式为:y=
(2)解:由(1)可知:当y=260时,x=400,则P(x≤400)=0.80,
结合频率分布直方图可知:0.1+2×100b+0.3=0.8,100a+0.05=0.2,
∴a=0.0015,b=0.0020
(3)解:由题意可知X可取50,150,250,350,450,550.
当x=50时,y=0.5×50=25,∴P(y=25)=0.1,
当x=150时,y=0.5×150=75,∴P(y=75)=0.2,
当x=250时,y=0.5×200+0.8×50=140,∴P(y=140)=0.3,
当x=350时,y=0.5×200+0.8×150=220,∴P(y=220)=0.2,
当x=450时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310,∴P(y=310)=0.15,
当x=550时,y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410,∴P(y=410)=0.05.
故Y的概率分布列为:
Y | 25 | 75 | 140 | 220 | 310 | 410 |
P | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.15 | 0.05 |
所以随机变量Y的数学期望
EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5
【解析】(1)利用分段函数的性质即可得出.(2)利用(1),结合频率分布直方图的性质即可得出.(3)由题意可知X可取50,150,250,350,450,550.结合频率分布直方图的性质即可得出.
【考点精析】解答此题的关键在于理解频率分布直方图的相关知识,掌握频率分布表和频率分布直方图,是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式,可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息,又可以利用图形传递信息,以及对离散型随机变量及其分布列的理解,了解在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.