题目内容
【题目】如图所示的几何体中,四边形为等腰梯形,
∥
,
,
,四边形
为正方形,平面
平面
.
(Ⅰ)若点是棱
的中点,求证:
∥平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使平面
平面
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【解析】试题分析: (1)由//
,且
,故四边形
为平行四边形,所以
//
.所以
//平面
; (2)因为平面
平面
,所以
平面
. 在△
中,由余弦定理,得
,所以
, 如图,以
为原点,以
所在直线分别为
轴,建立空间坐标系,写出各点坐标,求出平面的法向量,根据线面角公式求值即可; (3)假设线段
上存在点
,设
,分别求出两个平面的法向量,令数量积为0,方程无解,故不存在.
试题解析:(Ⅰ)证明:由已知得//
,且
.
因为为等腰梯形,所以有
//
.
因为是棱
的中点,所以
.
所以//
,且
,
故四边形为平行四边形,
所以//
.
因为平面
,
平面
,
所以//平面
.
解:(Ⅱ)因为四边形
为正方形,所以
.
因为平面平面
,
平面平面
,
平面
,
所以平面
.
在△中,因为
,
,
所以由余弦定理,得,
所以.
在等腰梯形中,可得
.
如图,以为原点,以
所在直线分别为
轴,
建立空间坐标系,
则,
,
,
,
,
所以,
,
.
设平面的法向量为
,由
所以,取
,则
,得
.
设直线与平面
所成的角为
,
则,
所以与平面
所成的角的正弦值为
.
(Ⅲ)线段上不存在点
,使平面
平面
.证明如下:
假设线段上存在点
,设
,
则.
设平面的法向量为
,由
所以,
取,则
,得
.
要使平面平面
,只需
,
即, 此方程无解.
所以线段上不存在点
,使平面
平面
.
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