题目内容
下列说法中：
①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，则实数b=2；
②f（x）表示-2x+2与-2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为1；
③若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=-6；
④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），则f（x）是奇函数．
其中正确说法的序号是
①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，则实数b=2；
②f（x）表示-2x+2与-2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为1；
③若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=-6；
④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），则f（x）是奇函数．
其中正确说法的序号是
①③④
①③④
（注：把你认为是正确的序号都填上）．分析：①f（x）是偶函数，应满足定义域关于原点对称，且一次项系数为0；
②f（x）表示-2x+2与-2x2+4x+2中的较小者，可用分段函数表示f（x），再求f（x）的最大值；
③f（x）的单调递增区间是[3，+∞），即x≥3时，2x+a≥0，得出a的取值；
④由题意，可求出f（1）=f（-1）=0，f（-x）与f（x）的关系，从而判定f（x）的奇偶性．
②f（x）表示-2x+2与-2x2+4x+2中的较小者，可用分段函数表示f（x），再求f（x）的最大值；
③f（x）的单调递增区间是[3，+∞），即x≥3时，2x+a≥0，得出a的取值；
④由题意，可求出f（1）=f（-1）=0，f（-x）与f（x）的关系，从而判定f（x）的奇偶性．
解答：解：①∵f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，∴有
，∴a=-1，b=2，命题正确；
②∵f（x）表示-2x+2与-2x2+4x+2中的较小者，∴f（x）=
，∴f（x）的最大值为2，原命题错误；
③∵f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），∴当x≥3时，2x+a≥0，∴a≥-6，故取a=-6，命题正确；
④∵f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），
∴当x=y=1时，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；
当x=y=-1时，f（1）=-f（-1）-f（-1），∴f（-1）=0；
当y=-1时，f（-x）=x•f（-1）+[-f（x）]，即f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数，命题正确．
所以，命题正确的序号是①③④
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②∵f（x）表示-2x+2与-2x2+4x+2中的较小者，∴f（x）=
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③∵f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），∴当x≥3时，2x+a≥0，∴a≥-6，故取a=-6，命题正确；
④∵f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），
∴当x=y=1时，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；
当x=y=-1时，f（1）=-f（-1）-f（-1），∴f（-1）=0；
当y=-1时，f（-x）=x•f（-1）+[-f（x）]，即f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数，命题正确．
所以，命题正确的序号是①③④
点评：本题综合考查了函数的单调性、奇偶性，熟练掌握其性质是解题的关键．
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